## **1. Calcolo della Misura di Emergenza \( M(t) \)**

### **Definizioni Preliminari**

- **Stato Iniziale Non-Duale \( | \text{NT} \rangle \):**

 \[
 | \text{NT} \rangle = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=1}^{N} | n \rangle
 \]

- **Operatore di Emergenza \( E \):**

 \[
 E = \sum_{k=1}^{N} \lambda_k | e_k \rangle \langle e_k |
 \]

- **Hamiltoniana del Sistema \( H \):**

 \[
 H = H_S + H_{SE} + H_E
 \]

 Dove:

 - \( H_S \) è l'Hamiltoniana del sistema.
 - \( H_E \) è l'Hamiltoniana dell'ambiente.
 - \( H_{SE} \) è l'interazione sistema-ambiente.

### **Evoluzione dello Stato in un Sistema Aperto**

L'evoluzione del sistema aperto è descritta da una **superoperatore dinamica** \( \mathcal{E}(t) \) che agisce sullo stato del sistema:

\[
\rho_S(t) = \mathcal{E}(t)[\rho_S(0)]
\]

Dove \( \rho_S(t) \) è la matrice densità ridotta del sistema al tempo \( t \).

### **Equazione di Master di Lindblad**

Per sistemi aperti, l'evoluzione della matrice densità è spesso descritta dall'equazione di Lindblad:

\[
\frac{d}{dt} \rho_S(t) = -\frac{i}{\hbar} [H_S, \rho_S(t)] + \sum_k \left( L_k \rho_S(t) L_k^\dagger - \frac{1}{2} \{ L_k^\dagger L_k, \rho_S(t) \} \right)
\]

Dove:

- \( L_k \) sono gli operatori di salto (Lindblad operators) che descrivono l'interazione con l'ambiente.
- \( \{ \cdot , \cdot \} \) denota l'anticommutatore.

### **Calcolo di \( \rho_S(t) \)**

Partendo da \( \rho_S(0) = E | \text{NT} \rangle \langle \text{NT} | E^\dagger \), risolviamo l'equazione di Lindblad per ottenere \( \rho_S(t) \).

La soluzione generale è complessa, ma per semplificare assumiamo che:

- Gli operatori \( L_k \) causino una decoerenza nelle basi \( | e_k \rangle \).
- L'Hamiltoniana \( H_S \) sia diagonale nella base \( | e_k \rangle \).

### **Matrice Densità Ridotta \( \rho_S(t) \)**

La matrice densità ridotta evolve come:

\[
\rho_S(t) = \sum_{k,l} \rho_{kl}(0) e^{-i (E_k - E_l) t / \hbar} e^{-\Gamma_{kl} t} | e_k \rangle \langle e_l |
\]

Dove:

- \( \Gamma_{kl} \) sono i tassi di decoerenza tra gli stati \( | e_k \rangle \) e \( | e_l \rangle \).

Per \( k \neq l \), i termini fuori diagonale (\( \rho_{kl} \)) decadono esponenzialmente a causa della decoerenza.

### **Calcolo di \( M(t) \)**

La misura di emergenza è:

\[
M(t) = 1 - \text{Tr} \left[ | \text{NT} \rangle \langle \text{NT} | \rho_S(t) \right]
\]

Espandiamo \( | \text{NT} \rangle \) nella base \( | e_k \rangle \):

\[
| \text{NT} \rangle = \sum_{k} d_k | e_k \rangle, \quad d_k = \langle e_k | \text{NT} \rangle
\]

Calcoliamo \( M(t) \):

\[
M(t) = 1 - \sum_{k,l} d_k^* d_l \langle e_k | \rho_S(t) | e_l \rangle
\]

Inserendo \( \rho_S(t) \):

\[
M(t) = 1 - \sum_{k,l} d_k^* d_l \rho_{kl}(t)
\]

A causa della decoerenza, i termini \( \rho_{kl}(t) \) con \( k \neq l \) tendono a zero per \( t \to \infty \). Quindi:

\[
M(\infty) = 1 - \sum_{k} | d_k |^2 \rho_{kk}(\infty)
\]

Se l'ambiente induce una completa decoerenza, la matrice densità diventa diagonale con elementi \( \rho_{kk}(\infty) \).

### **Monotonicità di \( M(t) \)**

Con la decoerenza, \( M(t) \) aumenta monotonamente nel tempo, poiché i termini fuori diagonale che riducono \( M(t) \) diminuiscono esponenzialmente.

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## **2. Analisi dell'Entropia von Neumann \( S(t) \) in un Sistema Aperto**

### **Calcolo dell'Entropia \( S(t) \)**

L'entropia von Neumann del sistema è:

\[
S(t) = - \text{Tr} [ \rho_S(t) \ln \rho_S(t) ]
\]

Con l'evoluzione temporale, la decoerenza aumenta la mescolanza dello stato, facendo crescere l'entropia.

### **Esempio di Calcolo**

Supponiamo che per \( t \to \infty \):

\[
\rho_S(\infty) = \sum_{k} p_k^{\infty} | e_k \rangle \langle e_k |
\]

L'entropia asintotica è:

\[
S(\infty) = - \sum_{k} p_k^{\infty} \ln p_k^{\infty}
\]

Se l'ambiente porta il sistema a uno stato di massima entropia, i \( p_k^{\infty} \) tendono a essere uguali, e l'entropia raggiunge il suo massimo valore \( S_{\text{max}} = \ln N \).

### **Crescita Monotona di \( S(t) \)**

La decoerenza e le interazioni con l'ambiente causano un aumento monotono dell'entropia \( S(t) \), riflettendo la perdita di informazione quantistica del sistema a favore dell'ambiente.

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## **3. Studio dell'Irreversibilità nel Sistema Aperto**

### **Irreversibilità Indotta dall'Ambiente**

In un sistema aperto, le interazioni con l'ambiente rendono il processo irreversibile:

- **Decoerenza:** La perdita dei termini di coerenza (\( \rho_{kl}(t) \) per \( k \neq l \)) è irreversibile a causa dell'entanglement con l'ambiente.
- **Dissipazione:** Energia e informazioni possono essere scambiate con l'ambiente, impedendo al sistema di ritornare allo stato iniziale \( | \text{NT} \rangle \).

### **Matematica dell'Irreversibilità**

L'irreversibilità è incorporata nell'equazione di Lindblad attraverso i termini di dissipazione:

\[
\frac{d}{dt} \rho_S(t) = \mathcal{L}[\rho_S(t)]
\]

Dove \( \mathcal{L} \) è un superoperatore che non ammette una dinamica inversa che riporti \( \rho_S(t) \) a \( \rho_S(0) \).

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## **4. Comportamento Asintotico di \( | \Psi(t) \rangle \) e \( M(t) \) nel Sistema Aperto**

### **Limite Asintotico di \( \rho_S(t) \)**

Per \( t \to \infty \), la matrice densità del sistema tende a uno stato stazionario:

\[
\rho_S(\infty) = \lim_{t \to \infty} \rho_S(t)
\]

Questo stato dipende dai dettagli dell'interazione con l'ambiente e può rappresentare:

- **Uno stato termico:** Se il sistema raggiunge l'equilibrio termico con l'ambiente.
- **Uno stato di massima entropia:** Se l'ambiente causa una completa miscelazione degli stati.

### **Comportamento di \( M(t) \) per \( t \to \infty \)**

Come precedentemente calcolato:

\[
M(\infty) = 1 - \sum_{k} | d_k |^2 \rho_{kk}(\infty)
\]

Se \( \rho_{kk}(\infty) \) sono uniformi, e \( | d_k |^2 \) sono noti, \( M(\infty) \) può essere calcolato esplicitamente.

### **Esempio Numerico**

Supponiamo che:

- \( N = 4 \)
- \( | d_k |^2 = \frac{1}{N} = 0.25 \)
- \( \rho_{kk}(\infty) = \frac{1}{N} = 0.25 \)

Allora:

\[
M(\infty) = 1 - \sum_{k=1}^{4} 0.25 \times 0.25 = 1 - 4 \times 0.0625 = 1 - 0.25 = 0.75
\]

Quindi, la misura di emergenza tende a 0.75 per \( t \to \infty \).

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## **5. Aggiornamento dell'Equazione Unificata della Risultante \( R(t+1) \)**

Incorporiamo le interazioni con l'ambiente nell'equazione di evoluzione:

\[
R(t+1) = \delta(t) \left[ \alpha \cdot M(t) + \beta \cdot f_{\text{Movimento}}(R(t), | \text{NT} \rangle) + \theta \cdot f_g(x, t) \right] + [1 - \delta(t)] \left[ \gamma \cdot f_{\text{Assorbi-Allinea}}(R(t), | \text{NT} \rangle) \right]
\]

Dove:

- \( M(t) \) è calcolato considerando l'interazione con l'ambiente.
- \( f_g(x, t) \) include effetti spaziali e temporali dovuti all'ambiente.
- Le funzioni \( f_{\text{Movimento}} \) e \( f_{\text{Assorbi-Allinea}} \) sono modificate per includere termini di dissipazione o forzamento dall'ambiente.

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## **6. Considerazioni sulla Decoerenza e Transizione Classica**

### **Decoerenza Come Meccanismo di Transizione**

La decoerenza causa la transizione da comportamenti quantistici a classici:

- **Perdita di Coerenza:** Gli stati quantistici perdono le loro sovrapposizioni di fase.
- **Emergenza di Traiettorie Classiche:** Il sistema inizia a seguire percorsi deterministici.

### **Implementazione nel Modello**

L'Assioma 19 sull'irreversibilità e crescita dell'entropia è supportato dall'inclusione della decoerenza:

- **Crescita dell'Entropia \( S(t) \):** Riflette la perdita di informazione quantistica.
- **Irreversibilità del Processo:** Il sistema non può tornare allo stato iniziale non-duale.

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## **7. Validità delle Leggi di Conservazione in un Sistema Aperto**

Le leggi di conservazione devono essere riesaminate:

- **Conservazione dell'Energia:** L'energia totale del sistema più ambiente è conservata, ma l'energia del sistema da solo può non esserlo.
- **Simmetrie Rotte:** Le interazioni con l'ambiente possono rompere alcune simmetrie, portando a fenomeni dissipativi.

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## **Conclusioni Aggiornate**

- **La misura di emergenza \( M(t) \) aumenta monotonamente nel tempo a causa della decoerenza indotta dall'ambiente.**
- **L'entropia von Neumann \( S(t) \) del sistema aumenta nel tempo, indicando una crescita della disordine e perdita di informazione quantistica.**
- **Il processo è irreversibile, poiché le interazioni con l'ambiente impediscono al sistema di ritornare allo stato iniziale non-duale \( | \text{NT} \rangle \).**
- **Nel limite asintotico, il sistema tende a uno stato misto con massima entropia, caratterizzato da una distribuzione statistica degli stati accessibili.**

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## **Nota Finale**

I calcoli aggiornati mostrano che, in un sistema aperto che interagisce con l'ambiente, le proprietà descritte dall'"Assioma Unificato dell'Emergenza Quantistica Duale-NonDuale" sono soddisfatte. La decoerenza e le interazioni con l'ambiente sono fondamentali per spiegare la crescita monotona della misura di emergenza, l'aumento dell'entropia e l'irreversibilità del processo evolutivo.

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